作者 | 吴大任
来源 | 原载《人民教育》1983年第01期
前不久, 中国数学会理事会在沈阳召开了一次全体会议, 重要议题之一是中学数学教育问题。大家一致认为, 为了实现社会主义四化, 为了抓好教育、科学这个战略重点, 提高中学数学教育水平是当务之急。在讨论中, 与会者对中学数学教育现状, 从内容到方法, 从教师队伍的数量到质量, 都进行了分析研究, 并提出了很多意见。近几年来, 我个人对这个问题略有接触, 虽然所知不多, 也愿意把自己的一些看法提出来, 不怕不成熟, 不怕有片面性, 不怕有错误, 目的是希望引起注意, 引起讨论, 以便统一认识。我认为, 问题虽然比较复杂, 但只要大家认识比较一致, 且有关教育领导部门看到问题的紧迫性、重要性，在调查研究的基础上, 采取坚决、切实而有效的措施, 问题是可以解决好的, 前景是光明的。
一、关于解析几何课与微积分课
解析几何课属于初等数学, 微积分则属于高等数学。现在各种类型的中学数学教学大纲都把立体解析几何砍掉, 使高等院校不得不补授, 却又把微积分下放到六年制重点中学 (高中第一、三类型), 教一年, 这是明显的颠倒。
50年代初, 学习苏联教育制度时, 就从中学课程中砍掉了解析几何。那时没有考虑到我们中小学12年, 比苏联多两年, 数学内容不应当和苏联看齐。这是很大的失误。数学界对此早就表示反对, 50年代早期, 就曾有十几位同志提出书面建议, 要求在中学恢复解析几何课。现在解析几何平面部分基本恢复了, 但立体部分付之阙如, 这是不合理的, 对中学和高校的数学教育都带来严重影响。
(1) 中学各门数学课之间, 相互渗透, 关系是很密切的。代数(和三角) 在解析几何 (包括立体)中有大量应用, 而解析几何又为代数提供直观的几何背景, 它还起着巩固初等几何的重要作用。砍掉立体解析几何, 对于培养学生熟练掌握代数与三角不利, 对培养学生的几何直观, 特别是空间想象能力不利, 对培养学生融会贯通, 并综合、灵活运用所学数学知识的能力不利。而这些都是目前中学生 (还有大学生) 的弱点。
(2) 高等学校不得不用许多时间补授立体解析几何, 这就挤掉了讲授高等数学的时间, 影响了高等数学的教学内容, 增加了学生学习负担。在综合大学数学系, 甚至挤掉了作为“三高”之一的高等几何。(注: 高等微积分、高等代数、高等几何是旧大学数学系的三门基础课, 目前数学界依然普遍认为是应当保证的。)
(3) 中学和高等学校几何课的削弱, 带来严重后果。例如我们高等学校的教师, 在讲授代数和分析方面的课程时, 很少介绍其内容的几何背景和在几何上的应用, 其中有些人是为了探究本课程体系的“纯洁性” (这本来是数学家的科研成果, 但在教学中过分强调则会产生副作用), 有些人则由于过去学的几何太少。事实上, 即使有人想联系几何, 也会由于学生解析几何和高等几何基础差,讲了效果也不好; 对此我自己是有过经验的。这就人为地把几何和其他数学分支的内在联系割断了。这种割裂不能不影响数学在我国的健康发展, 不少同志已经感到这种影响, 并为此担忧。
以上谈了解析几何,下面再谈微积分。
原则上我们不但不反对在中学开设微积分课, 而且欢迎; 我还认为, 这是完全办得到的。在我国20年代和30年代, 中学实行三三制以后, 许多中学是开设了微积分课的。20年代, 我在南开中学高中学习时, 选了理科。五年中我学到的数学课程包括完整的平面和立体几何, 初等代数和大代数 (包括概率论初步和方程式论), 完整的三角、平面和立体解析几何, 还有画法几何和一元函数的微积分。至于所学到的其他课程, 则包括大学普通化学, 物理, 如果不是任课教师不负责任, 也可以接近大学普通物理水平, 而汉语、英语水平则相当高, 还普遍学了两年第二外语。我不厌其详地列举这些, 当然不是要恢复那时候的课程设置, 而仅仅是为了说明, 只要安排得当, 解析几何 (包括立体) 和初等微积分在中学同时开设是完全可能的。
退一步说, 如果目前同时开设这两门课确有实际困难, 就应当优先考虑恢复立体解析几何, 而不应当以牺牲解析几何为代价来开设微积分。
有人认为, 中学生能升学的是少数, 学点微积分对他们就业有利。这有一定道理。但我认为, 中学生就业也可能用到立体解析几何, 而砍掉立体解析几何对大中学的数学教育, 对我国数学的发展带来的不良后果, 前面已谈过了。
事实上, 即使对已经制订的《全日制六年制重点中学数学教学大纲(征求意见稿)》不作大的改动, 微积分和立体解析几何在中学仍然可以并行不悖。按照上述文件, 第一类型微积分 84 课时,第三类型 112 课时。看来这是个学年课。为什么不可以开一学期立体解析几何, 一学期微积分呢？对于毕业后立即就业的中学毕业生, 学微积分的目的是 “用”, 不需要系统的理论。通过比较直观的教学方法, 让他们了解微分和积分的概念, 学会运算和典型的应用, 也就够了, 而要达到这个目的, 只需一个学期时间。在目前条件下, 即使用一学年时间, 要使多数第一次接触极限、连续性等概念的中学生透彻地从理论高度来理解它们, 也是不现实的。对于升学 (包括升入专科院校) 的学生,有了对微积分的感性认识和实际运算能力, 对他们系统地学习微积分或数学分析理论, 也是有帮助的, 但在中学未能普遍开设微积分课之前, 要完全不重复一元函数的微积分, 恐怕也不现实。
总之, 这是中学数学课程设置中的一个大问题, 要作些调查研究, 要考虑得远些, 全面一些, 作出决定要慎重, 避免凭主观想象办事。
从这个问题中,应当汲取的重要教训之一是: 进行教育改革必须有整体观念; 中学教改和高校教改, 要紧密结合, 不能割裂。过去结合不好, 常常是各搞各的, 以致造成矛盾。对此, 教育领导部门首先有责任, 中学和高校有些参与修订教学计划和教学大纲的同志, 包括我在内, 也不能辞其咎。
二、关于教学内容现代化问题
由于我对现代数学所知甚少, 对数学内容现代化涵义理解不透, 我对这个问题比其他问题更少发言权。
但我首先认为: 如果把微积分下放到中学作为中学数学现代化的办法之一, 那是误解。微积分诞生于17世纪, 成熟于18世纪, 不属于现代数学。
其次, 数学, 特别是中学数学, 和别的学科有一点很不相同, 那就是它的许多 (不是一切) 古老的内容, 不但至今照样有用, 而且构成现代数学的基础。我觉得, 现代数学有以下特点: (1)一些经典内容获得了新的应用, 因而有新的发展; (2)由于应用和数学理论内部矛盾的推动, 产生了崭新的数学分支; (3)经典数学和现代数学经过高度综合概括和抽象, 使不少概念有了新的涵义, 也产生了新的概念, 新的数学结构。这些情况表明, 中学数学教学内容的现代化不能操之过急, 不能为了现代化而削弱基本的必要的经典内容, 不能违反青少年的认识规律进行讲授(例如离开直觉, 越过感性认识来达到理性认识), 还必须考虑教师的条件。
我并不反对中学数学现代化, 我只是认为对此要持慎重态度, 其原因主要有两个。一方面, 我感到我们中学数学教学大纲砍掉的经典内容过多, 是不恰当的。除了已经谈过的解析几何外, 例如反三角函数只讲四个而不讲六个, 破坏了三角内容的完整性, 而那两个反三角函数仍然是很有用的,在某些场合 (例如在求一些初等函数的不定积分时) 没有它们就不方便, 而讲它们也并不费事; 又如一元高次方程的根和系数之间的关系应当是中学生的常识, 但也没有列入大纲。如果仔细检查, 这样的例子还可以举出很多。另一方面, 大约十多年前, 许多国家都进行了中学数学现代化的变革,给教学带来了严重困难, 还削弱了学生的基本功; 过了几年不得不又改回来, 虽不完全是“复旧”, 但也走了很曲折的道路。尽管对这个问题的争论至今尚未中止, 但他们的经验教训我们应当认真汲取。这类带根本性的变革, 必须以科学的态度, 经过试验, 然后推广(不能像 “学大寨”那样)。
三、关于教学方法
现在我们各级学校(包括高等学校) 的教学中普遍存在着的问题不少, 如注入式, 分数严重贬值, 有些课程自觉或不自觉地鼓励学生死记硬背, 使学生知其然而不知其所以然, 等等。这些都妨碍着学生独立工作能力的培养, 应当注意改正。
一点是必须加强对学生运算能力、逻辑表达能力和绘图能力的培养。除了教师要以身作则, 善于引导外, 对学生的练习和试卷都要严格要求, 使他们养成一丝不苟, 精益求精的作风。即使结果或结论看来正确, 如果逻辑条理不好, 表达不清楚, 绘图不准确, 都不能算全对。至于逻辑混乱, 绘图错了, 更应算作严重错误。教师在评卷时, 如果要费尽心思才能猜测出学生的思路, 那个解答就不合要求。这样做自然要降低成绩, 但只有这样, 分数才没有水分, 才不会出现贬值现象。实际上,成绩优秀者过多是不合规律的, 对教者、学者都没有好处, 会使他们自我陶醉, 不求提高。
另一点意见是, 必须大力克服题海战术现象。学数学必须做足够的练习, 包括做一些较难的题, 这是毫无疑义的, 多做些综合题也是有益的, 其中道理人人都了解。对于学习能力强, 有余力、有兴趣多做题, 甚至于做一些难题的学生, 我们也不要阻止, 甚至还可以适当地鼓励他们那样做。但是绝不能勉强所有学生都去做那么多的重复题、难题和偏题。这种题海战术不必要地增加学生负担, 在他们思想上形成压力, 影响他们学习数学的兴趣 (他们不能充分享受做出数学题的乐趣, 不能欣赏数学这门科学的精髓), 会使一部分学生对学好数学丧失信心。人们常常把数学课作为中、小学生负担过重、健康下降的罪魁祸首。我要为数学课鸣不平。造成负担过重的, 在数学方面, 主要是题海战术的做法。我认为与其花大量时间去搞题海战术，远不如把时间用于让学生学到更多的数学知识和方法。
说句公道话, 广大数学教师并不赞成题海战术。有一位中学毕业班的数学教师, 在给我的信中叙述了自己的矛盾心情。他反对给毕业班学生做那么多的题, 但在教育局、学校领导和学生家长的压力下, 为了使较多的毕业生能升学, 又不得不那样做, 而那样做就要花费很多时间和精力, 也妨碍了自己业务的提高。可见这不只是教育本身的问题, 它涉及招生、劳动就业制度和教育结构等, 必须由教育部门和其他许多部门研究解决, 不是单靠批评一下就能见效的。
附带提一下: 我们一方面反对 “单纯追求升学率”, 反对“分数挂帅”, 同时又经常报导某某中学升学率, 高考状元某某, 还发表访问记等等。这两者之间难道没有矛盾吗?
出现题海战术, 还有一个一般人未必想到的原因。那就是一套高考招生试题, 必须难易搭配, 以便把考生分数拉开, 才好录取。而难题有两种可能: 一是需要知识面广, 一是要技巧高。中学数学大纲砍掉内容太多, 毕业班又经常用几个月以至整个学期的时间来复习, 有些内容没讲完。因此,许多本来属于中等数学的内容, 试题都只能避开, 否则就会“超纲”, 或者不适应多数中学的教学实际。这样, 加大难度就只有在技巧上作文章。高考试题既然是 “指挥棒”, 中学教师就只好千方百计收集题目给学生做, 在技巧方面训练学生, 其中自然也就包括许多难题、偏题了。我建议: 今后少出版为升学目的而编的中学数学习题集和题解, 因为原有的已够多了。不过, 这只是治标之道。
四、关于教师业务提高
我们中学数学教师, 从学历看, 大专程度的百分比偏低, 这是大家都知道的。当然, 学历并不完全代表水平, 但大家也都认为, 目前刻不容缓的任务是教师业务水平的提高。这有两种途径, 一个是把一些高等学校的毕业生和教师分配或调到中学，这不能说是 “大材小用”或“学非所用”。但在目前情况 (中学教师的社会地位, 工资待遇等)下, 数量还不会很多。
另一个是切实可行的, 那就是: 凡有高等学校的地方, 组织一部分数学基础较好, 教学较有经验的高等学校教师办各种形式的中学数学教师培训班(或进修班), 要求可以各种各样, 学制也可以各种各样，可以业余、半脱产，也可以全脱产。担任教学任务的教师的工作量一律计入他们所在单位的教学工作量。可以在假日或晚间讲课, 可以利用大、中、小学教室。没有高等学校的地方, 可以参加广播电视大学或函授教育。培训班结业, 经过考核, 给予学分以及单科或多科证书。积累相应学分的, 还可以申请脱产做毕业论文, 取得相应学位。把中学教师在培训班学习的表现作为考核提级的依据之一。培训首先是根据其教学任务的直接需要, 其次是继续加深、加固、加高。已经有了一定学位的, 还可以取得更高学位, 但不要把学历、学位和提职、调职机械地联系起来, 不要取得一个学位就调职。对于水平高而又决心把自己的力量长期贡献于中学数学教学工作的教师, 要有物质鼓励, 并给予相应的荣誉。
建议各地区的各级教育部门都制定培训中学数学教师的长远规划和短期实施计划，限期把中学数学教师都提高到高等学校本科或专修科毕业生水平。各地不妨来个竞赛，看哪个地方首先达到这个目标。
