数感不足：初中数学成绩下滑的根源
一、数感不足
不少学生从小学升入初中，显示出了很多不习惯和不适应，在初中阶段，有很多数学“成绩不差”的学生掉队了。主要体现在：（1）不能很好地掌握有理数混合运算，运算过程不清晰，正确率不高；（2）不能灵活运用运算律进行简便运算；（3）对运算过程和结果缺少元认知判断能力，不能做出直觉的评判；（4）不能熟练地从特殊到一般用字母表示数学规律；（5）学生感到学习节奏太快，每天都在学习新的内容，知识消化不及时，力不从心，分化现象比较明显.
这些现象所反映的核心问题是学生抽象思维能力不够，主要体现在小学阶段：（1）学生的数感比较薄弱；（2）学生的数学符号感不强；（3）教学中教师没有渗透好从特殊到一般的数学思想方法，没有引导学生把数感与符号感自然融合，学生没有从“算术思维”转换到“代数思维”。
当前，“数感”这一名词在课程改革文件中俯拾即是，它指的是计算策略中的“灵活性”和“创造性”，反对过分强没有思维的计算程序。培养学生的“数感”不仅要培养他们的数学理解力，也要培养他们积极的学习态度和信心，而这些正是现有数学课程教学所欠缺的。
二、数感探讨
数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。根据麦金托什等人（Mcintoshi等，1992）的分析，数感主要在三个领域起重要作用：
·数字知识和数字的简便性——数字的顺序感；多样化的数字呈现形式；数字相对和绝对数量的判断；思考数字的基准参考体系。
·运算知识和运算的简便性理解运算结果；意识到所应用的规则；运算之间的关系。
·把数字、运算的知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中——理解问题情境和合适的解题策略之间的关系；意识到存在多样化的数字呈现方式；应用有效的数字表征形式和（或）方法的倾向；检验数据和结果的倾向。
数字知识涉及学生们所要理解的数字系统的结构和规则，即从理解整数扩展到理解有理数（有理数可以用分数和小数来表示），以及理解这些数字系统相互联系的方式。
运算的简便性就是掌握运算之间的联系，如两倍和乘以2的意义是一样的。它包括让学生们理解什么时候可以应用某些规则和知识，如在加法和乘法中，数字的位置是可以交换的，这样8 3就等同于3 8,8×3就等同于3×8。另一方面，对于减法和除法来说，交换数字的位置就意味着要用不同的解题方法并进行不同的计算。应用数字知识必须要让学生们理解在问题解决过程中需要应用何种运算，以及何时适合取近似值，并且要根据原始问题来理解计算的过程和结果。
从一开始接触数字，学生们就已经在寻找数字之间的联系，这些联系能培养他们思维的灵活性，而这种灵活性正是形成数感的特征。
通过计数中的数字模式，学生们形成了某些数字之间的联系。这里的“计数”并不仅仅指学生们最早体验到的“单元”计数，还包括以2,5,10,100为间隔的计数，这些计数可以从任一数字开始，可以往前数也可以往后数。当这些数字模式和算术运算相联系的时候，这些数字模式便能促使学生们找到有效的计算策略。
我们可以帮助学生们在计算之间、在计算和问题中出现的特殊数字之间建立联系。
比如，做以下三道计算题：25 26,39 17和12 35
根据相关的计算结果和数字联系，每个题目都可以应用不同的计算策略。根据“已知事实”25 25=50，可以迅速地推算出第一题的结果。
第二题可以转化成40 16=56；
而第三题很有可能要用到“拆分”数字的方法，以找到10 30 2 5的数字组合，或者找出某个相似的数字组合。
由此可见，应用标准的计算程序可能没有根据数感选择适当的计算策略有效。
三、数感的含义
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《2022 年版课标》）核心素养表述为“会用数学眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”
１、数学的眼光
什么是数学的眼光？为什么要观察？因为数学为人们提供了一个认识与探究现实世界的观察方法，因此只具有了数学的这种观察方法，那么学生就能够直观的理解数学的知识及其背景，能够在日常生活中和其他学科中发现跟数学有关的内容。用数学的方法能够研究那些内容，并且能表示出这些研究对象和他的关系，具有这种视野的话，学生就能够提出、发现有意义的数学问题，引起数学探究，情感、态度、价值观方面能够发展。所以，数学的眼光其实就是抽象，而小学阶段的数学抽象具体来说就是“数感、量感和符号意识”。
数学的抽象通俗理解就是数学内容不是真实的，而是以远离真实为检验真理的标准。唯有经过数学眼光的过滤，或经由数学眼光“剥离”或“去掉”真实之后得到的结果，才可能成为数学的真理。之所以对每一个经过数学眼光检验的结果，无论它是否有用或是否获过奖，人们都会表现出足够的敬畏和肯定，就是因为数学眼光在考察事物本质属性的可靠性方面所具有的无可替代的作用。在这个意义上，数学眼光表现为数学检验真理的标准。因此，数学的眼光其实也表现为数学化。
数学这个抽象中的一般性是这样的，两匹马两头牛，从抽象抽象为数字，2这个数字就有了一般性数字，在现实世界中是不存在数学研究的东西。在本质上都是不存在的，它是抽象的东西，但是这个抽象的东西可以在现实世界中表示所有数量。
到初中，进一步用字母表示数就更加一般了；
到高中，字母要抽象到集合就更加一般了，集合中的元素可以是树，可以是字母，也可以是几何图形，甚至可以是方程式。这样的话数学就逐渐的越来越抽象，脱离了现实就越来越远越来越远，也就越来越难理解了。
可见，数学眼光就是把现实问题数学化，抽象的起点就是“数感”。
２、数学化
关于数学化，要初步体会数概念的一致性和运算的一致性，怎么实现这个一致性就是怎么实现这个数学化。
特别引进一个计数单位的概念，计数单位是说是一种特殊的计量单位，是什么样的计量单位，是个数（基数）和顺序（序数）的计量单位。把它作为数学化一次性的抓手。
在数的认识中，不管是分数小数还是整数，都是多少个计数单位的表达，把这件事情因此。4/3，1/3，1/3是计数单位，这样的话就解决了假分数的问题，要不假分数永远说不清楚；小数也是这样，运算也是这样，通过计数单位就比较大小，应在同样的计数单位进行加减运算，用在同样的计数单位进行，因此分数通分的道理是要得到同样的计数单位。因此分数的加减运算中，分就是为了得到同样的计数单位，无论是整数的运算，小数运算和分数运算都是这样的。
３、数感
《2022年版课标》指出：“数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。”这里将数感定义为直观感悟。如果仅仅是直观感悟，数感是否可培养、可评价？
《2022年版课标》从以下三个方面，给出了数感的具体行为表现。
（1）能够在真实的情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序。
（2）能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断。
（3）能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。
数感的发展关键期是小学阶段，这一时期学生对数量知识、数学运算等的认识逐步深入，很容易形成数与数关系的感悟。小学阶段学生数感的培养从感数入手，从感数到数数，是逐渐深化的过程。小学生数感能力的培养有着明确的阶段划，对不同学段学生数感的发展提出了不同的要求。第一学段的要求是“形成初步的数感”，第二学段的要求是“形成数感”，在第三学段的要求是“进一步发展数感”。
需要先从观察具体的事物入手，在感知具体事物的基础上逐渐感知理解数学问题，再逐渐理解物体数量多，从而发展为量的多少的感知。不只只有数数教学。
在小学数学知识探究学习的过程中，学生能逐渐理解数的意义，明确其表征特点，逐渐于脑海中形成相应的数量关系，最终发展为基本的数理能力，学生数感能力的培养是长期培养、缓慢进行的过程。先观察实物，从实物中受到启发，感数这一环节至关重要。而确定物体数量的概念，在头脑中形成清晰的表象，则是再完成量的积累学习。由此实现数学学习过程中的顿悟，最终形成良好的数感，以数感的培养加强为学生解决复杂的数学问题，理清复杂的数量关系奠定能力基础。
四、数感的起点
数感的培养当然是从低年级开始的，数感包括感数和数数。当前教学中对数学研究很丰富，对感数有此忽视。
感数与近似数量表征系统的不同之处在于其目的是判定某个集合包含的确切数量。若你“只是看看”在一个小集合中有多少物体，你使用的是感知性感数。如，你能够看见骰子上的三个点并且迅速说出“3”。这三个点是同时被直观感知到的。
研究表明八个点超越了感知性感数的极限，那么你又是如何看见多米诺骨牌上的八个点并且“刚好知道”总数的呢？这时你使用的是概念性感数——先看到部分再组合成整体。也就是说，你把多米诺骨牌的一个面看作由四个点组成的部分，也就是“一个4”；把整个多米诺骨牌看作由两组四个点组成的整体，也就是“一个8”。这依然是感数，只是整个过程发生得非常迅速，通常很难被意识到。正是由于过程“非常迅速”，导致被忽视，而这一环节，也是理解“计数单位”的基础。
感数的另一种分类方式是以被感数物体的种类为分类标准的。之前所说的多米诺骨牌的例子就是一种空间模式。除此之外，还有时间和动觉模式，包括手指模式、节奏模式和空间听觉模式。通过概念性感数，创造并使用这些模式可以帮助儿童发展抽象的数和计算策略。如，儿童在接数时使用时间模式：“我知道还有三个，所以我只要数9……10,11,12”（有节奏地三次使用手指，每一拍都数一个数）。儿童还会运用手指模式计算加法问题。如，3 2，儿童会竖起三根手指，然后再竖起两根（有节奏地一根一根竖起），把最终竖起的手指作为答案“５”。
感数能力虽然很早就开始发展，但是它并不是一种“简单基础”的数学能力。感数引入了很多基本的基数概念——“有多少”、“多”和“少”、部分和整体及其关系、初步计算，以及一般所说的“数量”概念。这些概念共同发展，彼此相关交织，为小学、中学、高中甚至更高层次的数学学习奠定基础。不能进行概念性感数的儿童一般在学习这类计算的过程中存在障碍。尽管开始时儿童只能感知很小的数量，但这却是进一步建构更加复杂的大数计算程序的“垫脚石”。这也可能是“数感不足”导致的初中数学成绩下滑的根源。
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