久违的“内对角”——2020年秋常州九年级数学期末第25题
在曾经的旧教材中，有这么一个概念，圆内接四边形的一个外角，等于它的内对角。证明起来也容易，圆内接四边形的一个外角与其相邻的内角互补，而这个内角在圆内接四边形中，又满足对角互补，因此这个对角，我们称为内对角，整合起来就变成前面那句话了，即圆内接四边形对角互补加上同角的补角相等两个定理的推论。
题目
如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动.点P、Q同时出发，运动时间为t秒(0<t<2).圆M是△PQB的外接圆.
(1)当t=1时，圆M的半径是_________cm，圆M与直线CD的位置关系是__________；
(2)在点P从点A向点B的运动过程中.
①圆心M的运动路径长是__________cm；
②当圆M与直线AD相切时，求t的值；
(3)连接PD，交圆M于点N，如图2，当∠APD=∠NBQ时，求t的值.
解析：
(1)t=1时，BP=3cm，BQ=4cm，由勾股定理求出PQ=5cm，所以半径为2.5cm；
过点M作CD的垂线，如下图：
MF在△PQB中是中位线，因此MF=1/2BQ=2cm，相应的ME=6cm，于是判断圆M与直线CD相离；
(2)求解动点类问题，通常情况下需要将线段用含t的代数式表示，AP=3t，CQ=4t，不妨连接AC，如下图：
①AP=6-3t，CQ=8-4t，由勾股定理求得PQ=10-5t，△ABC和△PBQ，三边之比均为3：4：5，因此这是一对相似三角形，所以∠CAB=∠QPB，则PQ∥AC，同时点M为圆心，始终是PQ的中点，我们据此可判断点M的路径是从AC中点出发到点B，即图中BG的长度，由斜边中线等于斜边一半，可知BG=5cm；
②当圆M与直线AD相切时，根据切线定义，圆心M到AD的距离等于半径，如下图：
过点M作AD的垂线HK，其中HM是圆的半径，MK是△PBQ的中位线，于是HM=(10-5t)/2，MK=(6-3t)/2，由HM MK=6列方程，求得t=1/2；
(3)在图2中，我们分别观察∠APD和∠NBQ，∠APQ作为四边形PBQN的一个外角，可得∠APD=∠NQB，同时∠APQ=∠NBQ，于是∠NQB=∠NBQ，这两个角均为圆周角，因此弧NB=弧NQ，而弧NQ还对另一个圆周角∠NPQ，所以得到∠APD=∠NPQ，即PD平分∠APQ，再加上AB∥CD，我们极易构造等腰三角形，如下图：
延长PQ、DC，相交于点E，∠APD=∠EDP，于是∠NPQ=∠EDP，△EPD为等腰三角形；
再观察△ECQ，它同样也是三边之比为3：4：5的三角形，并且CQ=4t，因此CE=3t，EQ=5t，前面已经表示出PQ=10-5t，所以EP=10-5t 5t=10=ED，求出CE=4cm，最后得到t=4/3；
改进上述方法：
连接AC，同样先证明△ECQ是三边比为3：4：5，求出CE=3t，我们可证明四边形APEC是平行四边形，从而可直接得到EP=10，后面步骤相同.
解题反思
常州这道期末压轴题，和2020年宁波的几何压轴题24题（参见《理解遥望角，特殊形求值》和《压轴题研题活动第9场2020年宁波第24题》）有异曲同工之妙，由于江苏省使用的是苏科版教材，九年级上学期就已经讲完了相似，所以这道题包含相似的知识点。
解题过程中大量使用到特殊直角三角形，也可用三角函数解决，并且出路不止一条，有兴趣的读者可以尝试更多解法。图中的圆，作用是进行角的转化，很多证明步骤都属于常规常法，对学生非常友好，但并非简单送分，是一道信度较高的压轴题。
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