学以致用是学习的根本目的
小李是一名初中数学老师，刚毕业两年。他勤奋地备课、上课和批改作业，希望自己能教出一个年级第一，秀一把教学上的实力。
几次考试下来，小李发现，如果某一道试题的类型平时有练过，学生的得分率比较有保障；可是如果平时没练过，即便题目本身难度不大，学生的得分率也低得不敢恭维。
小李觉得这是自己抓题型不够全面的缘故，于是加大了挖掘题型的力度，同时让学生反复练习，三道不够来五道，五道不够来十道。结果呢，学生在常规题上，得分的确稳定了一些，但只要题目稍作改变，学生还是转不过弯来。
一次周测，试卷上有一道4分的填空题，小李平时没讲过，不出所料，他的两个班都在这道题上“全军覆没”。他懊恼地去打水，看到老王也在改这份试卷，便借来翻一翻，发现老王的学生在这道题上几乎都拿了满分。小李好奇地问：“你是什么时候讲过这种题目的？”“我还没讲过，匆匆忙忙地就考了！”老王回答。小李大吃一惊：“那你的学生在这道题的得分率怎么这么高？”“是吗？我感觉一般吧。”老王一脸的诚恳。
小李纳闷了：“同样的知识点，同样没讲过的题型，为什么老王的学生能解决，我的学生却解决不了？”
学生对学过的知识不会用，老师该如何解决
1.小李的问题本质上是什么？
和小李一样，许多老师关心和思考的一个问题，就是如何在有限的时间内，帮助学生把所写的数学知识达到学以致用，能不能解决生活问题另说，起码先能够用来解决考试的题目吧！
在心理学上，把在某一个情境下学到的知识，应用到另一个情境中的现象，叫做迁移。小李想要解决的，其实就是怎样才能帮助学生实现学习的正向迁移。
美国的心理学家奥苏贝尔认为，迁移与学生的认知结构及其特征有关，为此他提出了认知结构迁移理论。
他根据新知识与学生头脑中旧知识之间的关系，将学生的学习分成机械学习和有意义学习两种。在机械学习中，新知识与旧知识的关系是非实质的和人为的，比如学生把乘法口诀背得很溜，但对背后的逻辑一无所知；在有意义学习中，新知识与旧知识的关系是实质性的和非人为的，比如学生根据“三角形内角和等于180°”，理解“等腰三角形内角和等于180°”这一结论。
认知结构理论指出，一切有意义的学习，都是建立在原有认知结构的基础之上，受原有认知结构的影响，因此它本身就包含了迁移。
什么是认知结构？认知结构就是学生头脑里的知识结构，从狭义上看，它是学生头脑里所有对数学知识的理解与看法的集合。
不会应用是表象，认知结构的完善才是根本
迁移是以认知结构为中介，旧的学习通过影响原有认知结构的有关特征，来影响新的学习。奥苏贝尔提出，影响迁移的特征主要有三个：
一是认知结构的可利用性，指原有知识结构中是否具有能同化新知识的适当观念。什么是同化？同化就是把获得的信息进行转化，使之符合原有的认知方式。比如学生第一次遇到“矩形”两字感到陌生，你解释“矩形就是长方形”，他秒懂，这就是同化。对于能否同化新知识的观念，它们概括程度越高，包容性越大，迁移就越容易发生。
二是认知结构的可辨别性，指学习者能否分清新旧知识之间的相同点和不同点。高分辨度可以避免知识点之间的混淆带来的迁移干扰。比如有的学生在学有理数的加减时，做习题得心应手，可学了有理数乘法以后，就出现“-3 （-2）=5”这样的错误，这是没有分清加法和乘法在符号处理方面的异同，导致混淆的结果。
三是认知结构的稳定性，指用来同化新知识的知识的巩固程度。巩固程度越高，越有助于迁移。比如很多学生表示“角平分线上的点到该角两边的距离相等”这一性质接受不了，其实是因为他们对“点到直线的距离”这一概念未能巩固，有句话说的好：“基础不牢，地动山摇”，先学的概念没巩固，后面的概念就会学得相当吃力。
奥苏伯尔的认知结构迁移理论代表了从认知观点来解释迁移的一种主流倾向。
认知结构的可利用性、可辨别性和稳定性，对学习的迁移缺一不可
2.老师如何帮助学生促进迁移的顺利进行？
只要原有认知结构影响了新的学习，就存在迁移。为了促进迁移的顺利进行，老师需要帮助学生塑造良好的认知结构，提高学生认知结构的可利用性、可辨别性和稳定性。
（1）设计先行组织者，提高原有认知结构的可利用性和可辨别性
先行组织者是指在新的学习任务开始前呈现的引导性材料，它的目的是为新的学习内容提供观念上的固着点，在原有知识和新的知识之间架起一座“认知桥梁”，让学生有效地学习新材料。
先行组织者分为两类：
一类是陈述性组织者，它与新的学习产生一种上位关系，目的是为新的学习提供最适当的类属者，提高原有认知结构的可利用性。
比如学习菱形和矩形，课本一上来先提供几张平行四边形的图片，让学生观察它们的共同特征，接着就提出菱形和矩形的概念。如果老师老老实实地按这个步骤教，学生可能会疑惑：“好不容易才学完平行四边形，怎么又冒出菱形和矩形，还有正方形是什么鬼？！”
老师不妨换个思路，引导学生从边的角度看四边形的进化路线。一个四边形的四条边可以分为对边和邻边。其中，对边有两组，如果一组平行，另一组不平行，那么这个四边形就会变成一个梯形；如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
平行四边形还可以怎么进化呢？对边分析完了，我们考虑邻边。邻边有两种进化可能，一种是相等，另一种是垂直。如果邻边相等，平行四边形就会变成菱形；如果邻边垂直，平行四边形就会变成矩形；如果相等和垂直一起满足，平行四边形就会变成正方形，可以说是四边形的终极形态。这样解释，学生对菱形、矩形和正方形的概念会更容易上手。
陈述性组织者对于言语和分析能力较普通的学生更为有效，因为它为学生提供适当的图式，把新旧知识联系起来，促进学生的理解，避免了不必要的机械记忆。
陈述性组织者的作用，在于提供适当的框架，把新旧知识联系起来
除了陈述性组织者，另一类是比较性组织者，通常用于比较熟悉的学习材料，目的是比较新的知识与原有认知结构中的相关知识，提高原有认知结构的可辨别性。
比如学生在学习菱形时，对菱形的性质会用得挺顺手，可是学了矩形后，就会闹出看到菱形就得到对角线相等的笑话，这是把菱形和矩形的性质混淆的结果。因此，老师不妨列出一个表，比较菱形和矩形在性质上的共同点和不同点，这样有助于学生加深印象，避免把两者的有关性质混淆。
类似的例子还有很多，比如绝对值、相反数和倒数这三个概念，许多学生临近中考了，还傻傻分不清楚；还有判定直角三角形全等的“HL”条件，常常被学生当做“SAS”来用......
心理学家通过大量实验表明，当原有知识不稳定和不清晰时，使用比较性组织者对认知结构可辨别性的提高更有帮助；而当原有知识已经得到巩固和清晰时，只有过度学习新知识才能提高认知结构的可辨别性。比如在学矩形时，如果学生对菱形的性质还不过关时，比较矩形和菱形的异同点，能够帮助学生同时加深两者的印象；可是如果学生对菱形的性质已经巩固了，与其作比较，不如多来几组矩形有关的习题，当然要注意适度。
比较性组织者的作用，在于分清新旧知识的异同点，避免混淆
（2）利用刻意练习，提高认知结构的稳定性。
认知结构的稳定性，涉及知识的巩固程度。现代神经科学和认知科学认为，人的知识和技能，其实是大脑内一系列神经纤维传递的电脉冲信号的组合。在知识的学习过程中，神经元外侧的脂质，我们称为髓磷脂，起到了关键的作用，它能像胶皮把电线包起来一样，把神经纤维给包起来，通过防止电脉冲外泄而使得信号更强、更快、更准确，知识因此得以巩固。
人脑之中分布着大量“自由的”髓磷脂，它们观测脑神经纤维的信号发射和组合，哪些神经纤维用的越多，它们就过去把这一段线路给包起来，保护其中的电脉冲信号，从这个角度看，练习是巩固知识和技能的不二法门，而迄今为止发现的最强大的学习方法，就是刻意练习。
刻意练习的目前为止最有效的学习方法
要想用好刻意练习，老师需要把握四个要点。
第一，只在学习区练习。
做题是学生常用的练习方式。一道题，如果学生不费劲就解出来，说明它处在学生的舒适区；如果学生看了半天还无从下手，甚至题目都没看懂，说明它处在学生的恐慌区；而如果学生皱起眉头思考，能找到大部分的思路，那就说明它处在学生的学习区。
刻意练习对老师的第一个要求，就是努力让学习任务落在学生的“学习区”内，具有高度的针对性。可是，一个班有几十个学生，同样的任务不可能同时落入每个学生的学习区。为此，老师可以做两件事情。
第一件事情是整理习题。学一个知识点，我们可以从课本、学案、配套练习和网络题库四个渠道，找到充足的习题。有的老师懒得想，一张学案从头搞到尾就完事，这样很难有针对性。更好的选择，是把找到的题目进行分类，先按核心知识点分，在从易到难排序。
比如学习菱形的性质，找够习题后，我们可以把考查“四边相等”的题目归一类，把考查“对角线垂直”的题目归一类，然后从易到难排序，形成一份习题清单备用。
第二件事情就是动态布置练习任务，原则是“抓两头，带中间”。“两头”指的是班里成绩水平领先和落后的学生，“中间”指的是成绩水平介入两头之间的学生。在给学生布置练习任务时，我们不妨以中间学生的“学习区”为基准，来指定习题；对于成绩水平领先的学生，鼓励他们用更快的速度完成任务，然后从清单中找更难的题目挑战；而对于成绩水平落后的学生，我们可以想办法和他们一起找到可以做的事情，比如阅读笔记和讲过的例题，甚至阅读其他同学的答案。
设置梯度任务，帮助学生进入自己的“学习区”练习
第二，大量重复训练
从不会到会，秘诀在于重复。艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习一个知识，如果不及时练习回顾，学生很快就会遗忘，最后所剩无几。可是，一个学期的教学时间有限，要学习的知识点有多，老师又该如何在新课和复习中取得平衡呢？
答案就是调整练习的间隔。艾宾浩斯在记忆保持曲线的基础上，发明了一种“351-351”复习法：学生把一个知识点理解并记住后，要尽量在3小时之内复习一遍，接下来，在5小时内、10小时内、3天内、5天内、10天内分别复习一遍，经过这6次的学习，长期记忆就会形成，该知识点也会得到巩固。
老师可以做的是，白天讲完知识点后，在当晚的作业中布置相应的题目；在接下来的三天，每节课的课前小测，还有连续两周的周测，都安排一定量的题目；如果周测发现学生还不过关，可以视情况加一两节复习课或练习课，就这样反复练习，帮助学生巩固知识。
熟能生巧，仍未过时
第三，持续获得有效反馈
老师最大的作用是什么？有的人认为是激发学生的学习兴趣，有的人认为是传道受业解惑，其实对于学生的学习来讲，老师最大的作用，应该是提供即时有效的反馈。
一个知识用得好不好，最好有老师随时指出，学生必须能够随时了解练习结果，看不到结果的练习等于没有练习。在某种程度上，刻意练习是以错误为中心的练习，学生需要建立起对错误的极度敏感，一旦发现自己错了就感到非常不舒服，一直练习到改正为止。
反馈要想做到即时，老师需要提高结果分析能力。课堂上，学生在练习时，老师不妨手拿红笔来回巡视，发现错误就悄无声息地画个圈提醒，一轮练习做完后，立即把观察到的问题做个统一点评，让学生知晓。对于学生的作业和周测卷，老师或者提高批改速度，或者委托科代表帮忙，或者直接板书答案，供学生订正，总之，要趁学生心里还有一丝惦记的时候，完成反馈的提供，这样才有助于激发学生持续的积极性。有的老师不紧不慢，作业收上来好几天才发，这周考试下一周才改完评讲，学生早已经忘记了，效果自然大打折扣。
反馈要想做到有效，老师就不能仅仅满足于打勾打叉，简单地评个ABCD等级，这是浮于表面的反馈。三流老师只会告诉学生答案对错，二流老师能够指出学生错误背后的原因，而一流老师能预见学生大概率会犯哪些错误，通过设计题目，让学生和常见的错误“不期而遇”，从而有效改正。这种预见性的修炼，离不开个人平时对经验的总结和积累，也离不开备课组的通力合作和精心教研。
能提供即时有效的反馈，是老师的核心价值所在
第四，精神高度集中
有一年幸运地跟一位教学大神同事同一个备课组，据说她上课风趣幽默，很受学生喜欢，成绩也是杠杠的。我特地把自己的课调开，连续听了她好几个礼拜的课，发现了一个细节：在讲知识点的时候，课室里的确是欢声笑语的一片，可是到了做练习的时候，课室里会出奇地安静，仔细一看，几乎每个学生都专心地盯着题目思考，上一秒还开着玩笑的同事，此时是一脸的严肃，掌控着整个纪律。
刻意练习没有“寓教于乐”这个概念。曾经有个著名小提琴家说过，如果你是练习手指，你可以练一整天；可是如果你是练习脑子，你每天能练两个小时就不错了，因为高度集中是一件很耗体力的活。《娱乐至死》的作者波兹曼说过，从来没有任何一位先贤说应该寓教于乐。教育哲学家从来都认为获得知识是一件困难的事情，学习是要付出代价的，耐力和汗水不可少。
因此，在学生做练习时，老师最好的选择，就是管理好纪律，营造一个独立思考的安静氛围。这不是一件容易的事，有的学生总是忍不住开小差，或者找身边的人讨论，有的老师可能觉得为难，管吧，人家在讨论问题；不管吧，讨论的学生越来越多，课堂很快就会嘈杂一片。解决的一个办法，就是划定独学和讨论的时间，先保证独立思考，再适当兼顾讨论。为了让学生能够集中精力，老师需要把练习的纪律牢牢地掌控住才行。
老师需要营造独立思考的氛围，呵护学生的专注力
现代管理学之父彼得·德鲁克说过：“你唯一的能力就是应用知识创造价值的能力。”从系统的角度看，知识的应用是知识管理的一部分，它与知识的输入、以及认知结构的搭建是分不开的。作为老师，我们不能把目光局限于学生解决所谓的常见题型，而应该帮助学生完善知识的管理，从根本上提高学习效率。
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