这一讲我们继续《几何原本》第6卷“相似图形”中命题31的学习。
命题 31:在直角三角形中，在直角的对边上作一个图形，在夹直角的边上作该图形的相似图形，使其位置也相似，则有直角所对应的边上的图形等于另两边上的图形之和。
设ABC为直角三角形，角BAC为直角。
目标:证明BC上的图形等于与其相似且位置也相似的作于BA、AC上的图形的面积之和。
证明:
1、作垂线 AD。【第1卷 命题12】
2、在直角三角形ABC中，AD过直角的顶点A垂直于底边BC、垂线两边的三角形ABD、ADC相似于三角形ABC，且彼此之间也相似。【第6卷 命题8】
3、因为三角形ABC相似于ABD，所以CB比BA等于AB比BD；【第6卷 定义1】
4、因为三条线段成比例，第一条边比第三条边等于第一条边上的图形比第二条边上与其相似且位置也相似的图形【第6卷 命题19推论】，所以，CB比BD等于CB上的图形与在BA上与其位置相似的相似图形的面积比。
5、同理，BC比CD等于BC上的图形比CA上的图形的面积比。
6、因此，BC与BD、DC的和的比，等于BC上的图形面积与其在BA、AC上的位置相似的相似图形面积之和的比。【第5卷 命题24 】
7、因为BC等于BD、DC的和，所以BC上的图形面积等于在BA、AC上与其相似且位置也相似的图形的面积之和。【第5卷 命题9】
8、综上，在直角三角形中，在直角的对边上作一个图形，在夹直角的上作该图形的相似图形，使其位置也相似，则有直角所对应的边上的图光等于另两边上的图形面积之和。以上推导过程已对此作出证明。
好了，这一讲就到这里了。
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