汇文中学2023-2024七年级下数学期末考试题：如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该自然数为"和谐数"。例如：8=3-12，16=52-32，那么8和16就是"和谐数"。问：在不超过2024的自然数中，所有"和谐数"之和是多少？
来看一下这一道题目，这道题目是前天汇文中学期末考试考的一道题目。如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该自然数为"和谐数"。例如：8=3-12，16=52-32，那么8和16就是"和谐数"。问：在不超过2024的自然数中，所有"和谐数"之和是多少？
首先和谐数的定义就是两个连续奇数的平方差。什么叫做连续的奇数？比方说：1、3、5、7、9等等，这样的这一系列的奇数就叫做连续的奇数。相邻两个连续奇数的平方差就叫做和谐数。
可以一写几个和谐数，找一下规律，发现8、16、24、32这些数字都是8的倍数，那么就可以猜想和谐数应该是8的倍数。现在怎么证明这个和谐数为8的倍数？假设第N个和谐数是R、N-1，D、N+1，和谐数是R、N+1，那么就根据和谐数的定义，R、N-1的平方减去R、N-1的平方，算一下这两个结果是多少？结果是8倍的N，那么就可以证明出了这个和谐数就是8的倍数。
现在已经知道和谐数是8的倍数了，怎么计算和谐数的和？第一个和谐数是8，第二个和谐数是16，第三个是24，第四个是32，一直要到多少？可以检查一下，2024除以8刚好是能够整除的，所以2024也是一个和谐数。要算的就是这个式子的值，因为这每一个数都是8的倍数，所以可以提一个8出来，就是1+2+3一直加到253。
接下来只要算这个的和就行了，就是8乘以2分之253乘以254，这个结果算出来是257048。其中1+2+3一直加到N的公式时，2分之N乘N+1这个公式是一定要背掉的。
有的同学说，如果没有发现这个和谐数都是8的倍数，那这道题目能不能做？也是可以做的，只要知道这个和谐数的定义就是两个连续奇数的差就行了。所以第一个和谐数就可以写成3的平方减1的平方，第二个和谐数是5的平方减3的平方，第三个和谐数是7的平方减5的平方等等。这个题目要求求。出的是所有和谐数的和，所以把这些式子全部加起来就可以了。就是三的平方减一的平方加上五的平方减三的平方加上七的平方减五的平方，一直加到多少？刚好是两千零二十四，就要计算一下是什么的平方减去什么的平方等于两千零二十四。
这个怎么计算？知道第一个数字是八，第二个是十六，第三个是二十四，第多少个是两千零二十四？刚刚第一种方法已经算出来，就是第二百五十三个数字是两千零二十四，也就是什么的平方减去什么的平方等于两千零二十四，这是第二百五十三个式子。
第二百五十三个式子这两个空填什么？观察一下，第一个式子是三的平方减一的平方，第二个式子是五的平方减三的平方，第三个式子是七的平方减五的平方，所以第二百五十三个式子应该是二百五十三乘以二加一的平方减去二百五十三乘以二减一的平方，也就是五百零七的平方减去五百零五的平方。
这样可以发现这个式子当中三的平方负三的平方约掉了，五的平方减五的平方约掉了，也就是中间的这些项其实全部都可以约掉，只剩下一尾和一头，一尾是五百零七的平方，一头是一的平方，这个算出来是二十五万七千零四十九减一，同样也可以算出来是二十五万七千零四十八。
这种方法就没有用到这个公式了，今天的题目就讲到这里，如果各位有其他的思路也欢迎在评论区写下来，我会一一点赞支持。
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