华罗庚金杯赛试题：求 y=3x-6+√14-2x 最大值。
余老师讲初中数学。
大家好，请看下题，求 y=3x-6+√14-2x 的最大值。这题怎样解？请仔细观察，好好想想。
下面分析这一题，这是一道华罗庚金杯赛竞赛试题，是初中生的竞赛试题。对于高中生而言，解决题的方法很多，对于初中生而言，解决题难度很大。
这一题怎么做？看一看题目，y=根号下 3x-6+√14-2x，这就是一个根式，就是一个根式。如何解？如何变成熟悉的形式？要对它变形。
1. 首先看根号下 3x-6，可以提取一个根号 3，提取了一个 3 等以后，还有 x-2。同样道理，14-2x 可以提取一个 2，剩下的 7-x。
2. 到这一步了以后，可以分开写根号 3 乘以根号下 x-2+√2 乘以√7-x，分开写成这种形式。
3. 现在用换元法，令根号下 x-2 等于 a，根号下 7-x 等于 b，所以 y 就等于根号 3a 加上根号 2b。这能得到一个关系是 y 等于根号 3a 加根号 2b，还能得到第二关系是 a 平方加 b 平方等于多少？a 平方加 b 平方等于 x-2+7-x=5。
4. 现在知道了 y 等于根号 3a 加根号 2b，又知道 a 平方加 b 平方等于 5。想一想怎样求它的最大值？是不是用对偶式这种方法最简单？因为根号 3a 加根号 2b 直接求它的最大值不好求。先求它的平方，就是 3a 平方加 2b 平方加上 2 倍的根号 3 乘以根号 2ab。
5. 用对偶式要找根号 2a 减根号 3b 的括号平方，它等于多少？它等于 2a 平方，a 平方加 3 倍的 b 平方减掉 2 倍的根号 2 乘以根号 3ab。
6. 现在把两式相加，根号 3a 加上根号 2b 的括号平方加上根号 2a 减根号 3b 的括号平方，两式相加，2 倍的根号 3 乘以根号 2ab 一正一负相互抵消，3a 平方加 2a 平方，5 倍的 a 平方加 b 平方，a 平方加 b 平方等于 5，所以就是 25 就等于 25。
7. 又因为这一项是大于等于零的，这一项也是大于等于零的，所以根号 3a 加根号 2b 的括号平方肯定是小于等于 25。在什么条件下等于 25？就是杠号 2a 减杠号 3b 的括号平方等于零的时候，它等于 25。杠号 3a 加根号 2b 括号平方等于二十五，所以这个式子小于等于二十五，小于等于二十五的求的是最大值。根号 3a 加根号 2b 的最大值就等于多少？等于 5，也就是 y 的最大值，这是 y，因为 y 等于根号 3a 加根号 2b，y 的最大值。
这题讲完了，这道竞赛题实际上是比较难的，通过这样变形，然后用换元法再结合对偶式就顺利的解题。这题讲到这里，下题再。
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